ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

КВАЗИСИММЕТРИЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ ОБОБЩЕННЫХ ТРИАДНЫХ ПРЕДФРАКТАЛОВ КОХА

1,2Арзамасцева Г. В., 1Евтихов М. Г., 1Лисовский Ф. В., 1Мансветова Е. Г.

1Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Фрязинский филиал, http://fire.relarn.ru
г. Фрязино, 141190 Московская обл., Российская Федерация
2Современная гуманитарная академия, http://www.muh.ru
109029 Москва, Российская Федерация
arzamastseva@mail.ru, emg20022002@mail.ru, lisf@df.ru, mansvetova_eg@mail.ru

Поступила в редакцию 06.12.2016

Аннотация. Численными методами выполнено исследование свойств Фурье-образов семейства плоских триадных геометрических предфракталов с генератором в виде симметричной четырехзвенной ломаной с произвольным углом при вершине между центральными звеньями и с инициатором в виде отрезка прямой (кривая Коха) или в виде равностороннего треугольника (снежинка Коха). Для получения Фурье-образов изображения исследуемых фракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной сетке с ячейками, достаточно мелкими для адекватной передачи деталей предфракталов высоких поколений, а затем для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись значения квадрата модулей Фурье-компонент, то есть спектральное распределение интенсивности дифракционных максимумов в зоне Фраунгофера. Анализ Фурье-образов показал, что при значениях углов при вершине или при основании, равных целым долям от 180 градусов, они напоминают образы, присущие как идеальным кристаллам с осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка, так и паркетным мозаикам или квазикристаллам с осями квазисимметрии любого порядка. Реально в Фурье-образах кривых Коха с инициатором в виде отрезка прямой наблюдались оси квазисимметрии с 3-го до 9-го и 11- го порядка. Сходные описанным выше свойства присущи также и Фурье-образам снежинок Коха с инициатором в виде равностороннего треугольника. Конфигурацию наблюдаемых Фурье-образов можно приближенно считать радиально-кольцевой, причем в периферической («решеточной») части изображений доминирует радиальный характер с периодичностью распределения дифракционных рефлексов по радиусу, а в центральной («фрактальной») – кольцевой с самоподобием. Решеточная часть обладает своеобразной кластеризацией: все лучи имеют ярко выраженную центральную цепочку рефлексов вдоль радиусов и параллельные ей более слабые сателлиты по обе стороны. Все Фурье-образы обладали центром симметрии, который является неотъемлемым атрибутом дифракционных картин в зоне Фраунгофера для любых объектов), однако вращательная симметрия не была идеальной: при повороте изображений на соответствующие порядку оси симметрии углы совпадали только положения дифракционных рефлексов, а их интенсивности могли различаться. Причина наблюдаемых особенностей заключается в том, что рассматриваемые предфракталы, в отличие от кристаллов, представляют собой не континуум точечных объектов, а двумерное множество отрезков прямых, имеющих одинаковую длину, но разную ориентацию в пространстве. В этом множестве для рассматриваемых нами конфигураций генератора можно выделить состоящие из одинаково ориентированных отрезков двумерные подмножества, каждое из которых содержит некоторое количество парциальных одномерных дифракционных решеток, образуемых расположенными вдоль одной линии отрезками. Эти параллельные решетки в общем случае содержат разное количество отрезков, причем степень заполнения и расстояния между соседними отрезками, определяющие интенсивность и характер распределения дифракционных рефлексов вдоль линии, зависят от ориентации решетки и номера поколения предфрактала.

Ключевые слова: генератор, дифракция Фраунгофера, инициатор, квазикристалл, квазисимметрия, кривая Коха, масштабная инвариантность, паркетная мозаика, предфрактал, самоподобие, снежинка Коха, фрактал Коха, Фурье-образ, численные методы

УДК 51.74; 535.42

Библиография – 47 ссылок

РЭНСИТ, 2016, 8(2):207-214 DOI: 10.17725/rensit.2016.08.207

ЛИТЕРАТУРА

Мандельброт ББ. Фрактальная геометрия природы. М., Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
Олемской АИ, Флат АЯ. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. УФН, 1993, 163(12):1-50.
Gouyet J-F. Physics and fractal structures. Paris, Ecole Polytechnique, 1995, 234 p.
Peitgen H-O, Jürgens H, Saupe D. Chaos and fractals. New frontiers of science. New York, Springer-Verlag, 2004, 864 p.
Levy-Vehel J, Lutton E. Fractals in Engineering. London, Springer-Verlag, 2005, 290 p.
Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.
Fractals in Biology and Medicine: vol. IV (Mathematics and Biosciences in Interaction). ed. by Losa GA,.Merlini D, Nonnenmacher TF,.Weibel ER. Basel, Birkhaüser, 2005, 314 p.
Мандельброт ББ, Хадсон РЛ. (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах. Киев, Вильямс, 2006, 408 c.
Алмазов АА. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на финансовые рынки. Admiral Markets, М., 2009, 209 с.
Madden Ch. Fractals in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis. Salt Lake City, High Art Press, 1999, 224 р.
Бонч-Осмоловская ТБ. Введение в литературу формальных ограничений. Самара, Бахрах-М, 2009, 560 с.
Тарасенко ВВ. Фрактальная семиотика. Слепые пятна, перипетии и узнавания. М., Либроком, 2009, 232 с.
Исаева ВВ, Касьянов НВ. Фрактальность природных и архитектурных форм. Вестник ДВО РАН, 2006, 5:119-127.
Шлык ВА. Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне. Изв. Челябинского научного центра УрО РАН, 2004, 1(22):231-244.
Classification and Application of Fractals: New Research. ed. by Mitchell EW, Murray SR. New York, October Nova, 2012, 347 p.
Alain C, Cloitre M. Optical diffraction on fractals. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.
Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals. J. Mod. Optics, 1990, 37(6):1011-1031.
Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Diffraction Fields of Fractally Bounded Apertures. Opt. rev., 1994, 1(1):3-7.
Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality. J. Mod. Optics, 1991, 38(7):1335-1347.
Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Fresnel diffraction by 1D regular fractals. J. Optics. A: Pure Appl.Optics, 1992, 1:29-40.
Chabassier G, Angéli B, Heliodore F, Le Mehauté A. Optical wave diffraction on fractal objects. J. Optics. A: Pure Appl.Optics, 1992, 1:41-54.
Bo Hou, Gu Xu, Wen W, Wong GK L. Diffraction by an optical fractal grating. Appl. Phys. Lett., 2004, 85(25):6125-6127.
Funamizu H, Uozumi J. Generation of fractal speckles by means of a spatial light modulator. J. Opt. Soc. of Amer.: Opt. Express, 2007, 15(12):7415-7422.
Horváth P, Śmid P, Vásková I, Hrabovský M. Koch fractals in physical optics and their Fraunhofer diffraction patterns. Optik, 2010, 121(2):206-213.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Темирязева МП. Аморфизация бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных пленках критической толщины. ЖЭТФ, 2008, 134(2):282-290.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Спонтанные фазовые переходы в магнитных пленках с модулированной структурой. ЖЭТФ, 2011, 140(3):516-526.
Пайтген Х.-О, Рихтер ПХ. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 206 c.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Фурье-образы фрактальных объектов. Изв. РАН, сер. физ., 2010, 74(10):1430-1432.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Лукашенко Л.И. Компьютерное моделирование дифракции света на фрактальных доменных структурах. Тр. XIX Междунар. школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”, МГУ, Москва, 2004: 632-634.
Дикштейн ИЕ, Кузнецов ДВ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Тр. XVI Междунар. школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники” ч. II, УРСС, Москва, 1998:519.
Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ, Лукашенко ЛИ. Фрактальные доменные структуры в пермаллоевых пленках. Тр. XIX Междунар. школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”, МГУ, Москва, 2004, с. 838-840.
Лисовский ФВ, Лукашенко ЛИ, Мансветова ЕГ. Термодинамически устойчивые фрактало-подобные доменные структуры в магнитных пленках. Письма в ЖЭТФ, 2004, 79(7):432-435.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование мультиплицирования фурье-спектров предфракталов L-системы. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(12):29-32.
Арзамасцева ГВ., Евтихов МГ, Лисовский ФВ., Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на H-фракталах и кривых Пеано. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(7):48-58.
Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Свойства плоских геометрических бифракталов. Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии, 2012, 4(2): 93-107.
Penrose R. Pentaplexity: A class of non-periodic tilings of the plane. Eureka (Cambridge), 1978, 39:16-22.
Shechtman D, Blech LA, Gratias D, Cahn JW. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1984, 53(20):1951-1953.
Гехт Э. Свойства симметрии в картинах дифракции Фраунгофера. УФН, 1973, 111(2): 355-364.
Уманский ЯС, Скаков ЮА, Иванов АМ, Расторгуев ЛН. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. М., Металлургия, 1982, 632 с.
Suck J-B, Schreiber M, Haussler P. Quasicrystals: an introduction to structure, physical properties, and applications. Berlin-Heidelberg, Springer Verlag, 2010, 564 p.
Мильман ЮВ, Ефимов НА, Гончарова ИВ. Квазикристаллы - новый класс твердых тел с уникальными физическими свойствами. Сб. научн. тр. Ин-та проблем материаловедения НАН Украины, 2012, 18: 3-14.
Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М., Мир, 1993, 416 с.
Лазарев АИ, Домрачев ГА. Ромб и квадрат как зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков. Кристаллография, 1994, 39(5): 811-844.
Юдин ВВ, Карыгина ЮА. Фракталъностъ квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза. Кристаллография, 2001, 46(6): 1004-1008.
Лазарев АИ, Суханов АЮ, Домрачев ГА. Устойчивые фрактальные формы в плоских квазикристаллических структурах с симметрией 8-го, 4-го, 2 го и 1-го порядков, имеющих коэффициент самоподобия. Кристаллография, 1996, 41(5):798-803.
Домрачев ГА, Лазарев АИ. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твердых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях. ФТТ, 1999, 41(5): 799 804.
Lindenmayer A. Mathematical models for cellular interaction in development. J. Theoret. Biology, 1968, 18:280-315.

Полнотекстовая электронная версия статьи – на вебсайтах http://elibrary.ru и http://rensit.ru/vypuski/article/190/8(2)207-214.pdf